Question

7．某市需對(duì)某環(huán)城快速車道進(jìn)行限速，為了調(diào)研該道路車速情況，于某個(gè)時(shí)段隨機(jī)對(duì)100輛車的速度進(jìn)行取樣，測(cè)量的車速制成如下條形圖：

經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值μ=85，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．已知車速過(guò)慢與過(guò)快都被認(rèn)為是需矯正速度，現(xiàn)規(guī)定車速小于μ-3σ或車速大于μ+2σ是需矯正速度．
（1）從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，求該車輛是需矯正速度的概率；
（2）從樣本中任取2個(gè)車輛，求這2個(gè)車輛均是需矯正速度的概率；
（3）從該快速車道上所有車輛中任取2個(gè)，記其中是需矯正速度的個(gè)數(shù)為ε，求ε的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，該車輛是需矯正速度”，因?yàn)棣?3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由樣本條形圖可得所求的概率．
（2）記事件B為“從樣本中任取2個(gè)車輛，這2個(gè)車輛均是需矯正速度”由題設(shè)可知樣本容量為100，又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)，可得所求概率．
（3）需矯正速度的個(gè)數(shù)ε服從二項(xiàng)分布，即?～B$（2，\frac{1}{20}）$，即可得出．

解答 解：（1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，該車輛是需矯正速度”，
因?yàn)棣?3σ=78.4，μ+2σ=89.4，
由樣本條形圖可知，所求的概率為$P（A）=P（x＜μ-3σ）+P（x＞μ+2σ）=P（x＜78.4）+P（x＞89.4）=\frac{1}{100}+\frac{4}{100}=\frac{1}{20}$．
（2）記事件B為“從樣本中任取2個(gè)車輛，這2個(gè)車輛均是需矯正速度”
由題設(shè)可知樣本容量為100，又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)，故所求概率為$P（B）=\frac{C_5^2}{{C_{100}^2}}=\frac{1}{495}$．
（3）需矯正速度的個(gè)數(shù)ε服從二項(xiàng)分布，即?～B$（2，\frac{1}{20}）$，
∴$P（ε=0）=C_2^0{（\frac{1}{20}）^0}{（\frac{19}{20}）^2}=\frac{361}{400}$，$P（ε=1）=C_2^1{（\frac{1}{20}）^1}{（\frac{19}{20}）^1}=\frac{19}{200}$，$P（ε=2）=C_2^2{（\frac{1}{20}）^2}{（\frac{19}{20}）^0}=\frac{1}{400}$，
因此ε的分布列為

ε	0	1	2
P	$\frac{361}{400}$	$\frac{19}{200}$	$\frac{1}{400}$

由?～B$（2，\frac{1}{20}）$，可知數(shù)學(xué)期望E（?）=2×$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了條形圖的性質(zhì)、二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．