Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列為a₁，a₂，…a_n…，則對任意正整數(shù)n必有（　�。�

• A、-

  π

  2

  ＜an+1-an＜0
• B、0＜an+1-an＜

  π

  2

• C、

  π

  2

  ＜an+1-an＜π
• D、π＜an+1-an＜

  3π

  2

Answer 1

分析：對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點就是函數(shù)y=tanx與y=-x的交點的橫標，觀察兩線的交點，在每一個周期上都有一個交點，且從左向右，交點的位置更靠近漸近線，兩個點之間的橫標的差．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=xsinx，
∴f^′（x）=sinx+xcosx=0
∴tanx=-x，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點就是函數(shù)y=tanx與y=-x的交點的橫標，
觀察兩條直線的交點，從縱軸向右，在每一個周期上都有一個交點，
且從左向右，交點的位置一次更靠近漸近線，
∴兩個交點之間的橫標之差小于一個周期，大于半個周期，
故選C．

點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是看清題目整理后轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)的交點的橫標之間的關(guān)系．