求證：關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充分條件和必要條件均是m≥2.

思路分析：本題的條件是p:m≥2，結(jié)論是q:方程x2+mx+1=0有兩個負實根，然后要明確充分性的證明是：pq.必要性的證明是qp.?

證明：（1）充分性：∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0.?

∴x2+mx+1=0有實根，兩根設(shè)為x1,x2

由韋達定理知x1x2=1＞0.?

∴x1與x2同號,?

又x1+x2=-m≤-2＜0,∴x1、x2同為負實數(shù).?

即x2+mx+1=0有兩個負實根的充分條件是m≥2.?

（2）必要性:

∵x2+mx+1=0有兩個負實根x1和x2且x1x2=1,∴m-2=-（x1+x2）-2=-（x1+）-2=- ≥0,故m≥2.

即x2+mx+1=0有兩負實根的必要條件是m≥2.?

綜上m≥2是x2+mx+1=0有兩負實根的充分條件,也是必要條件.

溫馨提示

本題關(guān)鍵是分清命題的條件p，結(jié)論q分別表示什么，且分清“充分條件”和“必要條件”的不同.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、求證：關(guān)于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

12、求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若對任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實數(shù)根且必有一個根屬于（x1，x2）；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）的根為m，且x1，m-
1
2
，x2成等差數(shù)列，設(shè)函數(shù)f （x）的圖象的對稱軸方程為x=x0，求證：x0＜m2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
x2+a
．
（1）求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
x-1
沒有實數(shù)根；
（2）求函數(shù)g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，當a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，證明：對任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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