Question

函數(shù)f（x）=

ax(x＜1) (a-3)x+5a(x≥1)

滿足對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則a的取值范圍是

0＜a≤

3

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，故函數(shù)在每一段上是減函數(shù)，在整個定義域內(nèi)也是減函數(shù)，故當x＜1時，0＜a＜1，當x≥1時，a-3＜0，且還有a¹≥（a-3）+5a，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：∵對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴f（x）在定義域R上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∵f（x）=

ax(x＜1) (a-3)x+5a(x≥1)

，
∴當x＜1時，0＜a＜1，
當x≥1時，a-3＜0，且a¹≥（a-3）×1+5a，
即

0＜a＜1 a-3＜0 a1≥(a-3)×1+5a

，
解得，0＜a≤

3

5

，
∴a的取值范圍是0＜a≤

3

5

．
故答案為：0＜a≤

3

5

．

點評：本題考查單調(diào)函數(shù)的定義，以及指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分段函數(shù)單調(diào)性的處理方法，一般利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，分段函數(shù)問題還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．屬于中檔題．