Question

數列{a_n}的通項公式是a_n＝n²－7n＋6.

(1)這個數列的第4項是多少？

(2)150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？

(3)該數列從第幾項開始各項都是正數？

Answer 1

解析：(1)當n＝4時，a₄＝4²－4×7＋6＝－6.

(2)令a_n＝150，即n²－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是這個數列的第16項．

(3)令a_n＝n²－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，

∴從第7項起各項都是正數．

14．已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和滿足S_n＞1，且6S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，n∈N^*.求{a_n}的通項公式．

解析　由a₁＝S₁＝(a₁＋1)(a₁＋2)，

解得a₁＝1或a₁＝2，由已知a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2.

又由a_n＋1＝S_n＋1－S_n

＝(a_n＋1＋1)(a_n＋1＋2)－(a_n＋1)(a_n＋2)，

得a_n＋1－a_n－3＝0或a_n＋1＝－a_n.

因a_n＞0，故a_n＋1＝－a_n不成立，舍去．

因此a_n＋1－a_n－3＝0.

即a_n＋1－a_n＝3，從而{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，故{a_n}的通項為a_n＝3n－1.