【題目】如圖1，與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形，，，連接是邊上一點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體

（1）求證：

（2）設(shè)若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；

（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

根據(jù)折疊圖形， ，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)平面，得到.

（2）根據(jù)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可知，，表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.

設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)為高，則，表示梯形BEFD和 ABD的面積由，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

（1）證明：不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為

由題知，，則有

又，則有

由折疊可知所以可證

由平面平面，

則有平面

又因?yàn)?/span>平面，

所以....

（2）解：依題意，有平面平面，

又平面，

則有平面，，又由題意知，

如圖所示：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由題意知

由可知，

則

則有，

，

設(shè)平面與平面的法向量分別為

則有

則

所以

因?yàn)?/span>，解得

設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，有最大值，

即

六面體的體積的最大值是

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假如你的公司計(jì)劃購買臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以一次性額外購買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用200元，另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次50元，在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機(jī)時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元，無需支付小費(fèi)，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計(jì)表：

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，表示1臺(tái)機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用（單位：元），表示購機(jī)的同時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)解析式.

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求的值.

（3）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買10次維修服務(wù)，或每臺(tái)都購買11次維修服務(wù)，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

消費(fèi)次數(shù)

第1次

第2次

第3次

不少于4次

收費(fèi)比例

0.95

0.90

0.85

0.80

現(xiàn)隨機(jī)抽取了100位會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

消費(fèi)次數(shù)

1次

2次

3次

不少于4次

頻數(shù)

60

25

10

5

假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：

（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率

（2）某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an＝an+1﹣2.

（1）若a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列1，a2，a4，b1，b2，…bn，…成等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年國慶節(jié)假期期間，某商場(chǎng)為掌握假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計(jì)了10月1日7:00-23：00這一時(shí)間段內(nèi)顧客0這一時(shí)間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段7:00 11:00，11:00 15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求該天顧客購買商品時(shí)刻的中位數(shù)t與平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）現(xiàn)從10月1日在該商場(chǎng)購買商品的顧客中隨機(jī)抽取100名顧客，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有男顧客 40人，其中10人購物時(shí)刻在[19，23](夜晚)，女顧客60人，其中50人購物時(shí)刻在[7，19)(白天)，根據(jù)提供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“男顧客更喜歡在夜晚購物”?

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解高一高二各班體育節(jié)的表現(xiàn)情況，統(tǒng)計(jì)了高一高二各班的得分情況并繪成如圖所示的莖葉圖，則下列說法正確的是（ ）

A.高一年級(jí)得分中位數(shù)小于高二年級(jí)得分中位數(shù)

B.高一年級(jí)得分方差大于高二年級(jí)得分方差

C.高一年級(jí)得分平均數(shù)等于高二年級(jí)得分平均數(shù)

D.高一年級(jí)班級(jí)得分最低為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷并說明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).若函數(shù)所有零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f(x)=sin 3x-cos 3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：

①它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；

②它的最小正周期為；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱；

④它在[]上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

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