設(shè)已知點A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值．
分析：（Ⅰ）解法一，依題意，由|
AC
|=|
BC
|，可求得cosα=sinα，結(jié)合題意可求得角α的值；
解法二，由|
AC
|=|
BC
|，可知點C在直線y=x上，而α∈（
π
2
，
3π
2
），可求得角α的值；
（Ⅱ）由
AC
•
BC
=-1，可求得sinα+cosα=
2
3
，將所求關(guān)系式切化弦后得
2cos2α+sin2α
1+cotα
=2sinαcosα，利用（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3）．  …（2分）
由|
AC
|=|
BC
|，得
(cosα-3)2+sin2α
=
cos2α+(sinα-3)2
．
即cosα=sinα．                          …（4分）
∵
π
2
＜α＜
3π
2
，
∴α=
5π
4
．…（6分）
解法二：∵|
AC
|=|
BC
|，
∴點C在直線y=x上．…（3分）
則sinα=cosα．  …（4分）
∵α∈（
π
2
，
3π
2
），
∴α=
5π
4
．…（6分）
（Ⅱ）
2cos2α+sin2α
1+cotα
=
2cos2α+2sinαcosα
1+
cosα
sinα

=
2cosα(cosα+sinα)
sinα+cosα
sinα
=2sinαcosα．…（8分）
由
AC
•
BC
=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=
2
3
．
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
4
9
，即2sinαcosα=-
5
9
． …（12分）
∴
2cos2α+sin2α
1+cotα
=-
5
9
．…（13分）
點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．
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在平面直角坐標系中，O是坐標原點，已知點A(3 ， 
3
)，點P（x，y）的坐標滿足
3
x-y≤0
x-
3
y+2≥0
y≥0
，設(shè)z為
OA
在
OP
上的投影，則z的取值范圍是
 
．

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|x|
5
+
|y|
4
=1上的點，則下列式子恒成立的是（　�。�
A、|PM|+|PN|=10
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C、|PM|+|PN|≥10
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設(shè)已知點A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值．

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