Question

已知函數(shù)f（x）=（a、b為常數(shù)且a≠0）滿足f（2）=1且f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）記x_n=f（x_n-1）（n∈N且n＞1），且x₁=f（1），求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（3）記 y_n=x_n•x_n+1，數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ax²+（b-1）x=0有唯一解，知b=1，由f（2）=，知，由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由，知，由，知，由此能求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由，知S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1=4[（）+（）+…+（）]，由此能證明S_n＜．
解答：解：（1）由即ax²+（b-1）x=0有唯一解，∴b=1，
又f（2）=，∴，
∴，（4分）
（2）由，∴，（6分）
又，∴，
∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列（8分）
∴，∴（10分）
（3）由（12分）
∴S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1
=4[（）+（）+…+（）]
=4（）＜．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)公式的合理運(yùn)用．