Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1+λa_n，是否存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法1：假設(shè)存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，通過以及a_n+1=a_n+2a_n-1，解得λ=1或λ=-2，λ=1，λ=-2，分別說明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
方法2：假設(shè)存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)（n≥2），轉(zhuǎn)化為a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1，與a_n+1=a_n+2a_n-1比較，
解得λ=1或λ=-2，存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）解法1：由（1）知（n≥1），當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，分別求出數(shù)列{a_n}的前n項和．
解法2：由（1）知（n≥1），構(gòu)造（n≥1），通過拆項法求出{}的通項公式，然后求出數(shù)列的前n項和．
解法3：由（1）可知，，求出，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，，分別求出數(shù)列{a_n}的前n項和．
解答：（本小題滿分14分）
（1）方法1：假設(shè)存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則有．                                     ①…（1分）
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
當(dāng)λ=1時，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有（n≥2）．…（4分）
當(dāng)λ=-2時，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有（n≥2）．…（5分）
所以存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
當(dāng)λ=1時，數(shù)列{b_n}為首項是4、公比是2的等比數(shù)列；
當(dāng)λ=-2時，數(shù)列{b_n}為首項是1、公比是-1的等比數(shù)列．…（6分）
方法2：假設(shè)存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
設(shè)（n≥2），…（1分）
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），…（2分）
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．…（3分）
與已知a_n+1=a_n+2a_n-1比較，令…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在實數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
當(dāng)λ=1時，數(shù)列{b_n}為首項是4、公比是2的等比數(shù)列；
當(dāng)λ=-2時，數(shù)列{b_n}為首項是1、公比是-1的等比數(shù)列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知（n≥1），…（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）…（8分）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ…（9分）
=．…（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）…（11分）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ…（12分）
=．…（13分）
故數(shù)列{a_n}的前n項和…（14分）
注：若將上述和式合并，即得．
解法2：由（1）知（n≥1），…（7分）
所以（n≥1），…（8分）
當(dāng)n≥2時，
=
=．
因為也適合上式，…（10分）
所以=（n≥1）．
所以．…（11分）
則，…（12分）
=…（13分）
=．…（14分）
解法3：由（1）可知，…（7分）
所以．…（8分）
則，…（9分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，…（10分）
=．…（11分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，…（12分）
=．…（13分）
故數(shù)列{a_n}的前n項和…（14分）
注：若將上述和式合并，即得．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，前n項和的求法，拆項法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，難度比較大．