Question

（2012•楊浦區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一動點(diǎn)，求線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，探究：直線AB是否過定點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形，可求幾何量，從而可求橢圓方程；
（2）確定點(diǎn)P、PM的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P是橢圓C上一動點(diǎn)，即可求得線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及k₁+k₂=8，可得直線AB的方程，從而可得直線AB過定點(diǎn)；若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，求出直線AB的方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由已知可得 b=2，a2=(

2

b)2=8，…（2分）
∴所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．                              …（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），PM的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（x，y），則

x12

8

+

y12

4

=1                     …（6分）
由x=

0+x1

2

，y=

2+y1

2

得x₁=2x，y₁=2y-2代入上式得

x2

2

+(y-1)2=1      …（10分）
（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₂，y₂），則將直線方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．      …（11分）
則x3+x2=-

4km

1+2k2

，x3x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵k₁+k₂=8，∴

y3-2

x3

+

y2-2

x2

=8，
∴2k+（m-2）×

x1+x2

x1x2

=8．                                …（12分）
∴k-

mk

m+2

=4，整理得m=

1

2

k-2．
故直線AB的方程為y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直線AB過定點(diǎn)（-

1

2

，-2）．                            …（14分）
若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，得x₀=-

1

2

．
此時AB方程為x=-

1

2

，顯然過點(diǎn)（-

1

2

，-2）．                            
綜上，直線AB過定點(diǎn)（-

1

2

，-2）．                            …（16分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．