Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用絕對(duì)值的意義求得絕對(duì)值不等式的解集．
（Ⅱ）由不等式f（x）+3x≤0，求得x≤-$\frac{a}{2}$，且x≤$\frac{a}{4}$．分類(lèi)討論，根據(jù)它的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即 f（x）=|x-1|≥|x+1|+1，
即|x-1|-|x+1|≥1．
由于|x-1|-|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
由-0.5到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，故不等式的解集為{x|x≤-0.5}．
（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x-a|+3x≤0，即|x-a|≤-3x（x≤0），
即 3x≤x-a≤-3x，求得 x≤-$\frac{a}{2}$，且x≤$\frac{a}{4}$．
當(dāng)a≥0時(shí)，可得它的解集為{x|x≤-$\frac{a}{2}$}；再根據(jù)它的解集包含{x|x≤-1}，
可得-$\frac{a}{2}$≥-1，求得a≤2，故有0≤a≤2．
當(dāng)a＜0時(shí)，可得它的解集為{x|x≤$\frac{a}{4}$}；再根據(jù)它的解集包含{x|x≤-1}，
可得$\frac{a}{4}$≥-1，求得a≥-4，故有-4≤a＜0．
綜上可得，要求的a的取值范圍為[0，2]∪[-4，0）=[-4，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義、絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．