Question

已知雙曲線的右焦點(diǎn)是F，右頂點(diǎn)是A，虛軸的上端點(diǎn)是B，且，∠BAF=120°．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，4）的直線l交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q與雙曲線C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件可知A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)根據(jù)和聯(lián)立求得a和c，進(jìn)而求得b．雙曲線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)l的方程，M和N的坐標(biāo)，依題意可得Q的坐標(biāo)，根據(jù)表示出x₁和y₁，把M代入雙曲線方程整理后求得k，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得．
解答：解：（Ⅰ）由條件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．
．①
．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．則b²=c²-a²=3．
故雙曲線C的方程為．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，
設(shè)l的方程為：．
∴．
∴．
∴
∵M(jìn)（x₁，y₁）在雙曲線C上，
∴．
∴．
∴．
同理．
若16-k²=0，則直線l過項(xiàng)點(diǎn)，不合題意，∴16-k²≠0
∴的兩根
∴．
∴k²=9，此時△＞0，∴k=±3．
∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力．