Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，對于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-總成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅲ）計(jì)算．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得2a_n=3S_n-，再由a₁=1，令n=2可以求得a₂=，同理，分別令n=3 和4，可求得a₃，a₄的值．
（Ⅱ）由題意可得，3S_n=a_n+4，故有3S_n+1=a_n+1+4，相減可得3a_n+1=a_n+1-a_n，即，即a₂，a₃，…a_n，…成等比數(shù)列，由此求得通項(xiàng)a_n ．
（Ⅲ）由題意可得，=1+，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-4，a_n，2-總成等差數(shù)列，∴2a_n=3S_n--2．
再由a₁=1，令n=2可得 2a₂ =3s₂--2，即 2a_n=3（1+a₂ ）--2，解得 a₂=．
令n=3 可得2a₃=3S₃--2，即 2a₃=3（1++a₃）--2，解得  a₃=-．
同理，令n=4，可求得 a₄=?．
（Ⅱ）∵當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-4，a_n，2-總成等差數(shù)列，即 2a_n=3S_n-4+2-，?
即 2a_n+2=3s_n-，∴2a_n+1+2=3s_n+1-s_n．
兩式相減，得2a_n+1 -2a_n=3a_n+1-a_n，即，
∴a₂，a₃，…a_n，…成等比數(shù)列，故a_n=．
（Ⅲ）由于數(shù)列{a_n}當(dāng)n≥2時(shí)構(gòu)成等比數(shù)列，公比q=-，
故 =1+=1+=．
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，無窮遞縮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限，屬于中檔題．