Question

以坐標(biāo)軸為對稱軸、漸近線互相垂直、兩準(zhǔn)線間距離為2的雙曲線方程是

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)焦點(diǎn)在不同的坐標(biāo)軸上分別設(shè)出雙曲線的方程，然后由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的方程為y=±

a

b

x，準(zhǔn)線方程為y=±

a2

c

，且均有性質(zhì)c²=a²+b²，則列出方程組分別解之即可．

解答：解：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因?yàn)樗�的漸近線方程為y=±

b

a

x，準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，
所以

- b a • b a =-1 a2 c =1 c2=a2+b2

，解得a²=b²=2，
所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
同理設(shè)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
則

- a b • a b =-1 a2 c =1 c2=a2+b2

，解得a²=b²=2，
所以焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．
因此滿足要求的雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

2

=1或

y2

2

-

x2

2

=1．
故答案為

x2

2

- 

y2

2

=1或

y2

2

-

x2

2

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，同時(shí)考查解方程組的能力．