Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點(diǎn)M、N均在直線x＝5上．圓弧C₁的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁＝13；圓弧C₂過(guò)點(diǎn)A(29，0)．

(1) 求圓弧C₂所在圓的方程；

(2) 曲線C上是否存在點(diǎn)P，滿足PA＝PO？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3) 已知直線l：x－my－14＝0與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)EF＝33時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離．

Answer 1

解：(1) 由題意得，圓弧C₁所在圓的方程為x²＋y²＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C₂過(guò)點(diǎn)A(29，0)，設(shè)圓弧C₂所在圓方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

則

所以圓弧C₂所在圓的方程為x²＋y²－28x－29＝0.

(2) 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x，y)，則由PA＝PO，得(x－29)²＋y²＝30(x²＋y²)，即x²＋y²＋2x－29＝0.

由

解得x＝－70(舍去)；

由

解得x＝0(舍去)．所以這樣的點(diǎn)P不存在．

(3) 因?yàn)閳A弧C₁、C₂所在圓的半徑分別為r₁＝13，r₂＝15，因?yàn)镋F>2r₁，EF>2r₂，所以E、F兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上．設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，因?yàn)橹本�l恒過(guò)圓弧C₂所在圓的圓心(14，0)，所以EF＝15＋

即＝18，解得d²＝，所以點(diǎn)O到直線l的距離為.