已知點P是圓x2+y2=1上任意一點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,點R滿足,記點R的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(0,1),點M、N在曲線C上,且直線AM與直線AN的斜率之積為,求△AMN的面積的最大值.
【答案】分析:(I)根據(jù),確定P,R坐標之間的關(guān)系,利用點P是圓x2+y2=1上任意一點,可得點R的軌跡方程;
(Ⅱ)(1)當直線MN的斜率不存在時,不合題意;
(2)當直線MN的斜率存在時,確定直線MN過定點T(0,-3),再計算△AMN的面積,利用換元法,借助于基本不等式,即可求得△AMN的面積的最大值.
解答:解:(I)設(shè)R(x,y),P(x,y),則Q(0,y).
,∴,
∵點P是圓x2+y2=1上任意一點,
,
∴點R的軌跡方程:.…(6分)
(Ⅱ)(1)當直線MN的斜率不存在時,設(shè)MN:
,,∴,不合題意.…(7分)
(2)當直線MN的斜率存在時,設(shè)lMN:y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2
聯(lián)立方程,得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.
∴△=12(3k2-b2+1)>0,.…(9分)
,

代入上式,得b=-3.
∴直線MN過定點T(0,-3).…(11分)
=.…(13分)
,即3k2=t2+8,∴
當且僅當t=3時,.…(15分)
點評:本題考查軌跡方程的求解,考查三角形的面積,解題的關(guān)鍵是利用代入法求軌跡方程,構(gòu)建面積函數(shù),利用基本不等式求最值.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上一動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
QP
(λ為非零常數(shù))的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若存在過點N(
1
2
,0)
的直線l與曲線C相交于A、B兩點,且
OA
OB
=0(O為坐標原點),求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
=2
QP
的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上任意一點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,點R滿足
RQ
=
3
PQ
,記點R的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(0,1),點M、N在曲線C上,且直線AM與直線AN的斜率之積為
2
3
,求△AMN的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件數(shù)學公式的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學交流試卷3(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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