Question

某大學(xué)為了發(fā)展需要，準(zhǔn)備興建新校區(qū)．新校區(qū)規(guī)劃分南北兩個(gè)校區(qū)，北區(qū)擬建A，B，C三個(gè)不同功能的教學(xué)小區(qū)，南區(qū)擬建D，E，F(xiàn)三個(gè)不同功能的生活小區(qū)．南北校區(qū)用一條中心主干道MN相連，各功能小區(qū)與中心主干道用支道相連，并且各功能小區(qū)到中心干道的端點(diǎn)的距離相等，A，C，D，F(xiàn)在邊長為2公里的正方形頂點(diǎn)位置，B，E分別在MN的延長線上．已知中心主干道的造價(jià)為每公里30萬元，支道造價(jià)為每公里20萬元．問當(dāng)中心主干道約為多少公里時(shí)，才能使道路總造價(jià)最低？道路總造價(jià)最低為多少萬元？（ 參考數(shù)據(jù)

3

=1.732，結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：根據(jù)中心主干道的造價(jià)為每公里30萬元，支道造價(jià)為每公里20萬元，可得關(guān)于道路總造價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法可求最值．

解答：解：設(shè)MN=2x，O為正方形的中心，總造價(jià)為y萬元…．（1分）
過M作MP⊥AF，垂足為P，則MP=1，AP=1-x，AM=

12+(1-x)2

=

x2-2x+2

…．（3分）
故y=6AM•20+MN•30=120

x2-2x+2

+60x…．（6分）y′=

120(x-1)

x2-2x+2

+60…．（8分）
令y′=0⇒2(1-x)=

x2-2x+2

∴3x2-6x+2=0 ∴x1=1-

3

3

，x2=1+

3

3

＞1（舍去）
當(dāng)x∈(0，1-

3

3

)，y′＜0；x∈(1-

3

3

，1)，y′＞0…（12分）
故當(dāng)x=1-

3

3

時(shí)，ymin=60(1+

3

)≈164（萬元）
答：當(dāng)中心主干道約為0.845公里時(shí)，才能使道路總造價(jià)最低．道路總造價(jià)最低約為164萬元…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而求函數(shù)的最值．