Question

（13分）某企業(yè)有一條價值為m萬元的生產(chǎn)流水線，要提高其生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的價值，就要對該流水線進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)產(chǎn)值y萬元與投入的改造費(fèi)用x萬元之間的關(guān)系滿足：①y與成正比；②當(dāng)時，，③，其中a為常數(shù)，且.

（1）設(shè)，求出的表達(dá)式;

（2）求產(chǎn)值y的最大值，并求出此時x的值.

Answer 1

解析：（1）y與（m－x）x成正比， 

∴y＝f (x)=k (m－x)x²

又時，     

∴  ∴k＝4

∴y＝f (x)＝4(m－x)x²……………………………………（2分）

由得          

∴         ……（4分）

（2）∵         

∴令

得…………………………………（5分）

（i）若    即

當(dāng)時，

∴在[0，m]上單調(diào)遞增

當(dāng)時，

由在[]上單調(diào)遞減

∴當(dāng)，…………（8分）

（i i）若  即時

當(dāng)(0, )時，

∴在[0，]上單調(diào)遞增

∴……………………（11分）

綜合（i）（i i）可知

當(dāng)時，產(chǎn)值y的最大值為，此時投入的技術(shù)改造費(fèi)用為；

當(dāng)時，產(chǎn)值y的最大值為，此時投入的技術(shù)改造費(fèi)用為；