Question

已知函數(shù)f（x）=x（1+x）²
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）設g（x）=ax²，若對于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域為R，求出函數(shù)的導數(shù)是一個二次函數(shù)，再討論此二次函數(shù)的正負，在函數(shù)的定義域內解不等式
fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值；
（2）變形為兩個函數(shù)的差f（x）-g（x）≥0在x＞0時恒成立，再根據(jù)x∈（0，+∞）為正數(shù)，所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立即為a-2≤

1

x

+x恒成立，利用基本不等式，可得a-2≤2，得a≤4．

解答：解：因為f（x）=x³+2x²+x
所以函數(shù)的導數(shù)f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

1

3

因為當x＜-1或x＞-

1

3

時，f′（x）＞0；當-1＜X＜

1

3

時f′（x）＜0
所以的單調增區(qū)間是（-∞，-1）和（-

1

3

，+∞）
的單調減區(qū)間是(-1，-

1

3

)
所以f（-1）=0是f（x）的極大值，f(-

1

3

)=-

4

27

是f（x）的極小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x³+2x²+x-ax²=x[x²+（2-a）x+1]
由已知x[x²+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因為x∈（0，+∞），所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立，
即a-2≤

1

x

+x恒成立．
因為x＞0，所以

1

x

+x≥2，（當且僅當x=1時取“=”號），
所以

1

x

+x的最小值為2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的極值與最值，屬于中檔題．導數(shù)與不等式相結合是考試常見考點，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．
（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值問題，
（2）將恒成立問題轉化為作差所函數(shù)恒正的問題，再根據(jù)正數(shù)的特征，將不等式變形為運用基本不等式的形式，加以求解，這是典型的轉化化歸思想．