Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（-

1

2

）≤-

3

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在[m，m+1]的最小值為實(shí)數(shù)m的函數(shù)g（m），求函數(shù)g（m）的解析式．

Answer 1

分析：（1）先對其配方，根據(jù)其最小值不小于1以及f（-

1

2

）≤-

3

4

求出a；即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出其對稱軸，再討論對稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系，分別求出其最小值，最后綜合即可求函數(shù)g（m）的解析式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+ax，
∴f（x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，
∴y_min=-

a2

4

≥-1⇒-2≤a≤2    ①；
又f（-

1

2

）=

1

4

-

a

2

≤-

3

4

⇒a≥2     ②；
由①②知a=2   
（2）f（x）=x²+2x函數(shù)圖象的對稱軸為x=-1
m+1≤-1時，即m≤-2時，y_min=f（m+1）=m²+4m+3                 （7分）
m≥-1時，y_min=f（m）=m²+2m                                   （8分）
m＜-1＜m+1時，即-2＜m＜-1時，
y_min=f（-1）=-1                   （10分）
綜上g（m）=

m2+4m+3，   m≤-2 -1，      -2＜m＜-1 m2+2m，       m≥-1

．

點(diǎn)評：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），在定區(qū)間[m，n]上，[1]當(dāng)m≥-

b

2a

時，對稱軸在區(qū)間左側(cè)，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當(dāng)n≤-

b

2a

時，對稱軸在區(qū)間右側(cè)，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當(dāng)-

b

2a

∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函數(shù)f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-

b

2a

，n]上函數(shù)f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．