Question

設曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉的值為（　　）

• A、-log₂₀₁₀2009
• B、-1
• C、（（log₂₀₁₀2009）-1
• D、1

Answer 1

分析：由導數的幾何意義可求切線的斜率k，寫出過（1，1）的切線方程，在切線方程中令f（x）=0，可得x_n，然后根據對數的運算法則計算．

解答：解：設過（1，1）的切線斜率k，f（x）′=（n+1）xⁿ
則k=f（1）′=n+1，切線方程y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=

n

n+1

∴X1•X2…X2009=

1

2

•

2

3

• …

2009

2010

=

1

2010

log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x2009=log2010X1• X2…X2009=log2010

1

2010

=-1
故選 B

點評：本題著重考查了導數的幾何意義及過某一定點的切線方程，熟悉對數的運算法則是解決本題的基礎；對于這類問題還考查學生對基本知識、基本技能的掌握程度．