Question

已知數(shù)列{a_n}中相鄰兩項(xiàng)a_n、a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的兩根，a₁₀=-10，則b₅₀=

 

．

Answer 1

分析：由數(shù)列{a_n}中相鄰兩項(xiàng)a_n、a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得a_n+a_n+1=-3n；由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)_n•a_n+1=b_n可求得b₅₀的值．

解答：解：a_n+a_n+1=-3n；a_n•a_n+1=b_n；
∴{a_n+

3

2

n-

3

4

}是公比為-1的等比數(shù)列，
a₁₀+

3

2

×10-

3

4

=

17

4

∴a_n=

3

4

-

3

2

n+（-1）ⁿ•

17

4

∴a₅₀=-70；a₅₁=-80
∴b₅₀=5600；
方法二：
∵a_n，a_n+1是方程的根∴a_n+a_n+1=-3n a_n×a_n+1=b_n
∴a_n+1+a_n+2=-3（n+1）
則a_n+2-a_n=-3（n+1）-（-3n）=-3
∴{a_n}奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為-3
∵b₅₀=a₅₀×a₅₁
a₅₀-a₁₀=20（a_n+2-a_n）=-60
∴a₅₀=-70
∵a₁₀+a₁₁=-3×10=-30 a₁₁=-20
a₅₁-a₁₁=20（a_n+2-a_n）=-60
a₅₁=-80
∴b₅₀=（-70）×（-80）=5600
故答案為5600．

點(diǎn)評：考查構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式，題干的呈現(xiàn)形式體現(xiàn)了方程的思想，難度較大，屬難題．