Question

已知雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x，并且焦點(diǎn)都在圓x²+y²=100上，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí) x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由

b

a

=

4

3

 和c=10，解得a和b 的值，即得所求雙曲線方程，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理可求雙曲線方程．

解答：解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由漸近線方程y=±

4

3

x得

b

a

=

4

3

．①又焦點(diǎn)在圓x²+y²=100上，知c=10，即a²+b²=100．②
由①②解得a=6，b=8．∴所求雙曲線方程為 

x2

36

-

y2

64

=1．
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），則

a2+b2=100 a b = 4 3

，即

a=8 b=6

，
∴所求雙曲線方程為

y2

64

-

x2

36

=1．
綜上，所求雙曲線方程為

x2

36

-

y2

64

=1，或

y2

64

-

x2

36

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．