已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，原點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是
4
5
5

（1）求橢圓C的方程；  
（2）若P（x，y）是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求x2+y2的取值范圍．
分析：（1）利用橢圓的離心率e=
3
2
，原點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是
4
5
5
，建立方程組，求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）由（1）知，P（x，y）滿足橢圓方程，整理得到x2+y2=4+
3x2
4
，進(jìn)而得到x2+y2的取值范圍．
解答：解：解：（1）∵橢圓的離心率e=
3
2
，
∴a=2b．
∵原點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)A（a，0），B（0，-b）的直線
x
a
-
y
b
=1的距離是
4
5
5
，
∴
ab
a2+b2
=
4
5

∴a=4，b=2，
∴所求橢圓的方程為
x2
16
+
y2
4
=1；
（2）由于P（x，y）是橢圓C
x2
16
+
y2
4
=1上的一動(dòng)點(diǎn)，
則x2+y2=4+
3x2
4
，
∵-4≤x≤4，∴4≤x2+y2≤16，
因此x2+y2的取值范圍為[4，16]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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