Question

已知在數(shù)列{a_n}中，（t>0且t≠1）．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n>2012的n的最小值；

（3）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對(duì)于任意的正整數(shù)n有成立？若存在，求出滿足條件的一個(gè)g（x）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1005；（3）見(jiàn)解析.

【解析】（1）先求出，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922221987586722/SYS201206192224171726602206_DA.files/image003.png">可以整理得，又且，求得數(shù)列 是首項(xiàng)為，公比為t的等比數(shù)列，利用累加法求出；（2）由（1）和t=2，，得，分組求和得解，得n的最小值為1005．（3）先對(duì)變形找到滿足條件的指數(shù)函數(shù)，再裂項(xiàng)求和證明函數(shù)滿足條件..

解：（1）．

由題意，即．         …………1分

∴

∵且，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，

                                                                                                                …………2分

以上各式兩邊分別相加得，∴，

當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴                                                         …………5分

   （2）當(dāng)t=2時(shí)，

                                                         …………7分

                                                                                                               

由，得，

，                                                                                   …………8分

當(dāng)，

因此n的最小值為1005．                                                                         …………10分

   （3）∵

令，則有：

則

                                                                                                                …………13分

即函數(shù)滿足條件．，.