如圖所示,四面體ABCD中,O、E分別為BD、BC的中點(diǎn),且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小;

(Ⅲ)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

答案:
解析:

  (Ⅰ)證明:方法一:如圖所示:連結(jié)OC,

  ∵BO=DO,AB=AD

  ∴AO⊥BO

  ∵BO=DO,BC=CD

  ∴CO⊥BD

  在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=

  而AC=2,∴

  ∴∠AOC=90°

  即AO⊥OC

  ∵

  ∴AO⊥平面BCD  4分

  (Ⅱ)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知,ME//AB,OE//DC

  ∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

  在△OME中,,  6分

  ∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線

  ∴

  ∴

  ∴異面直線AB與CD所成角的大小為  8分

  (Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h

  ∵

  ∴

  在△ACD中,CA=CD=2,AD

  ∴

  而

  ∴

  ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為

  12分

  方法二:(I)同方法一;(II)解:如圖所示

  以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),,

  ∴

  ∴異面直線AB與CD所成角的大小為  8分

  (Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為,則

  

  ∴

  令y=1,得是平面ACD的一個(gè)法向量  10分

  又

  ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離  12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)在如圖所示的四面體ABCD中,AB、BC、CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1.
(Ⅰ)求證:平面ACD⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D的大;
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(2009•襄陽模擬)在如圖所示的四面體ABCD中,AB、BC、CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1.
(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大;
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為θ,求θ的取值范圍.

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(2009•河?xùn)|區(qū)二模)如圖所示,四面體ABCD中,O、E分別是BD和BC的中點(diǎn),且AB=AD=
2
,AC=BC=CD=BD=2
(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求三棱錐E-ACD的體積.

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如圖所示,四面體ABCD中,AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3.BD=CD=2.

(1)求證:AD⊥BC;

(2)求二面角B—AC—D的余弦值.

 

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