Question

如圖所示，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn)，且CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小；

(Ⅲ)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：方法一：如圖所示：連結(jié)OC， 　　∵BO＝DO，AB＝AD 　　∴AO⊥BO 　　∵BO＝DO，BC＝CD 　　∴CO⊥BD 　　在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝ 　　而AC＝2，∴ 　　∴∠AOC＝90° 　　即AO⊥OC 　　∵ 　　∴AO⊥平面BCD　　4分 　　(Ⅱ)解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知，ME//AB，OE//DC 　　∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角． 　　在△OME中，，　　6分 　　∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線 　　∴ 　　∴ 　　∴異面直線AB與CD所成角的大小為　　8分 　　(Ⅲ)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h 　　∵ 　　∴ 　　在△ACD中，CA＝CD＝2，AD 　　∴ 　　而， 　　∴ 　　∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為 　　12分 　　方法二：(I)同方法一；(II)解：如圖所示 ］ 　　以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，， 　　∴ 　　∴異面直線AB與CD所成角的大小為　　8分 　　(Ⅲ)解：設(shè)平面ACD的法向量為，則 　　 　　∴ 　　令y＝1，得是平面ACD的一個(gè)法向量　　10分 　　又 　　∴點(diǎn)E到平面ACD的距離　　12分