Question

數(shù)列{a_n}中a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+1=3a_n+2，（n≥2，n∈N^*）a₁=a₂=1
（1）設(shè)b_n-1=a_n+1-2a_n，求證（b_n）是等比數(shù)列
（2）證明n≥2，n∈N時{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項式．

Answer 1

分析：（1）把給出的等式左邊寫成和式后得到一個簡潔的遞推式，把n替換后得到另外一個等式，兩式作差后即可得到結(jié)論；
（2）求出等比數(shù)列的通項公式，代入b_n-1=a_n+1-2a_n，把得到的等式兩邊同時除以2ⁿ⁺²構(gòu)造一個新數(shù)列{

an

2n

}，且同時得出該數(shù)列是等差數(shù)列．

解答：（1）解：由a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+1=3a_n+2，（n≥2，n∈N^*），得：Sn+1=4an+2(n≥2，n∈N*)，則s_n+2=4a_n+1+2，
上述兩式相減得：a_n+2=4a_n+1-4a_n，即a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因為a₂-2a₁=1-2×1=-1≠0，所以

bn

bn-1

=

an+2-2an+1

an+1-2an

=2（n≥2，n∈N^*）．
所以{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）證明：在已知等式中取n=1，得：a₁+a₃=3a₂+2，∴a₃=4，
∴b₁=a₃-2a₂=4-2×1=2，
∴bn=b1×2n-1=2×2n-1=2n，即an+2-2an+1=2n∴

an+2

2n+2

-

an+1

2n+1

=

1

4

（n≥2），
所以當(dāng)n≥2時{

an

2n

}為以

1

4

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

4

+

1

4

(n-2)=

1

4

(n-1)．
∴an=(n-1)2n-2(n≥2)
∴an=

1              (n=1) (n-1)2n-2(n≥2)

．

點評：本題考查了等比關(guān)系和等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，解答此題的關(guān)鍵是靈活運用已知條件構(gòu)造新數(shù)列，此題是中檔題．