分析:(1)把給出的等式左邊寫成和式后得到一個簡潔的遞推式,把n替換后得到另外一個等式,兩式作差后即可得到結(jié)論;
(2)求出等比數(shù)列的通項公式,代入b
n-1=a
n+1-2a
n,把得到的等式兩邊同時除以2
n+2構(gòu)造一個新數(shù)列{
},且同時得出該數(shù)列是等差數(shù)列.
解答:(1)解:由a
1+a
2+a
3+…+a
n-1+a
n+1=3a
n+2,(n≥2,n∈N
*),得:
Sn+1=4an+2(n≥2,n∈N*),則s
n+2=4a
n+1+2,
上述兩式相減得:a
n+2=4a
n+1-4a
n,即a
n+2-2a
n+1=2(a
n+1-2a
n),
因為a
2-2a
1=1-2×1=-1≠0,所以
==2(n≥2,n∈N
*).
所以{b
n}是以2為公比的等比數(shù)列;
(2)證明:在已知等式中取n=1,得:a
1+a
3=3a
2+2,∴a
3=4,
∴b
1=a
3-2a
2=4-2×1=2,
∴
bn=b1×2n-1=2×2n-1=2n,即
an+2-2an+1=2n∴-=(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時{
}為以
為公差的等差數(shù)列,
∴
=+(n-2)=(n-1).
∴
an=(n-1)2n-2(n≥2)∴
an=.
點評:本題考查了等比關(guān)系和等差關(guān)系的確定,考查了等差數(shù)列的通項公式,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,解答此題的關(guān)鍵是靈活運用已知條件構(gòu)造新數(shù)列,此題是中檔題.