Question

設(shè)橢圓的離心率為，其左焦點與拋物線的焦點相同．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P，則
（1）求直線l的方程；
（2）橢圓上是否存在點M（x，y），使得，若存在，請說明一共有幾個點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到焦點坐標(biāo)，即得到橢圓的左焦點，再利用離心率即可得出b，進而求出a及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）（1）過此橢圓的右焦點F的直線l與曲線C只有一個交點P分與對稱軸平行（或重合）與相切兩種情況考慮即可得出；
（2）由（1）可求出點P的坐標(biāo)是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．分次三種情況討論：求出|PF|，再求出點M到直線l的距離即可．
解答：解：（Ⅰ）拋物線C的焦點為E（-1，0），它是橢圓的左焦點．離心率為，
∴b=2．
由b²-a²=1²求得．
因此，所求橢圓的方程為（*）
（Ⅱ）（1）橢圓的右焦點為F（1，0），過點F與y軸平行的直線顯然與曲線C沒有交點．設(shè)直線l的斜率為k，
①若k=0，則直線y=0過點F（1，0）且與曲線C只有一個交點（0，0），此時直線l的方程為y=0；
②若k≠0，因直線l過點F（1，0），故可設(shè)其方程為y=k（x-1），將其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因為直線l與曲線C只有一個交點P，所以判別式4（k²-2）²-4k²•k²=0，于是k=±1，從而直線l的方程為y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直線l的方程為y=0或y=x-1或y=-x+1．
（2）由（1）可求出點P的坐標(biāo)是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
①若點P的坐標(biāo)是（0，0），則PF=1．
于是=，從而y=±1，代入（*）式聯(lián)立：或，求得，
此時滿足條件的點M有4個：．
②若點P的坐標(biāo)是（-1，2），則，點M到直線l：y=-x+1的距離是，
于是有，從而，
與（*）式聯(lián)立：或
解之，可求出滿足條件的點M有4個：，，，．
③若點P的坐標(biāo)是（-1，-2），則，
點M（x，y）到直線l：y=x-1的距離是，
于是有，從而，
與（*）式聯(lián)立：或，
解之，可求出滿足條件的點M有4個：，，，．
綜合①②③，以上12個點各不相同且均在該橢圓上，因此，滿足條件的點M共有12個．圖上橢圓上的12個點即為所求．
點評：本題綜合考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交相切問題及其三角形的面積，需要較強的推理能力和計算能力及數(shù)形結(jié)合的能力．