Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）當(dāng)直線過點(diǎn)M（p，0）時(shí)，證明y₁．y₂為定值；
（2）如果直線過點(diǎn)M（p，0），過點(diǎn)M再作一條與直線垂直的直線l′交拋物線C于兩個(gè)不同點(diǎn)D、E．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，線段DE的中點(diǎn)為Q，記線段PQ的中點(diǎn)為N．問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)N到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于過點(diǎn)M（p，0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)l：x=my+p，與拋物線方程聯(lián)立可得y²-2pm-2p²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=

1

2

(y1+y2)=pm，代入l：x=my+p可得P（pm²+p，pm）．由于l′與l互相垂直，將點(diǎn)P中的m用-

1

m

代，得Q(

p

m2

+p，-

p

m

)．再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N（x，y），

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m即可得出．

解答： （1）證明：過點(diǎn)M（p，0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)l：x=my+p，聯(lián)立

x=my+p y2=2px

得y²-2pm-2p²=0，∴y₁y₂=-2p²．．
（2）解：依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=

1

2

(y1+y2)=pm，
代入l：x=my+p得xP=pm2+p，即P（pm²+p，pm）．
由于l′與l互相垂直，將點(diǎn)P中的m用-

1

m

代，得Q(

p

m2

+p，-

p

m

)．
設(shè)N（x，y），則

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m得y2=

p

2

(x-2p)，
由拋物線的定義知存在直線x=

15p

8

，點(diǎn)(

17p

8

，0)，點(diǎn)N到它們的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義及其不知方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．