Question

已知，數(shù)列的前項和為，點在曲線上，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求數(shù)列的通項公式；
（3）求證：，.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的解析式，由條件“點在曲線上”上得出與之間的遞推關(guān)系式，然后進行變形得到，于是得到數(shù)列為等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果結(jié)合已知條件得到
，兩邊同時除以，得到，構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項公式，然后求出，然后由與之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；（3）對數(shù)列中的項進行放縮法
，再利用累加法即可證明相應的不等式.
試題解析：（1）且，∴，
數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差，，
，；
（2）由，，
得，，
數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，
∴，，當時，，
也滿足上式，，；
（3），

.