Question

已知點(diǎn)P（5，0）及圓C：x²+y²-4x-8y-5=0
（1）若直線l₁為過點(diǎn)P的圓C的切線，求直線 l₁的方程；
（2）若直線l₂為過點(diǎn)P且被圓C截得的弦AB長是8，求直線 l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得圓心為C（2，4），半徑r=5．由點(diǎn)P（5，0）在圓C上，可得切線l₁與半徑CP互相垂直，因此算出直線CP的斜率為-

4

3

，從而得到切線l₁的斜率為

3

4

，可得直線l₁的方程；
（2）當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，利用垂徑定理算出弦AB的長為8，此時(shí)l₂方程為x=5符合題意；當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)設(shè)l₂的方程為y=k（x-5），利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理加以計(jì)算，可得k=-

7

24

，得到l₂方程為7x+24y-35=0．最后加以綜合即可得到滿足條件的直線l₂的方程．

解答：解：（1）∵圓C：x²+y²-4x-8y-5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x-2）²+（y-4）²=25，
∴圓心為C（2，4），半徑r=5．且P（5，0）在圓C上，
∵直線l₁為過點(diǎn)P的圓C的切線，且P為切點(diǎn)，
∴直線CP的斜率為kCP=

4-0

2-5

=-

4

3

，
因此，所求切線l₁的斜率為k=

-1

kCP

=

3

4

，
∴直線l₁方程為y-0=

3

4

(x-5)，化簡得3x-4y-15=0．
（2）①當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，其方程為x=5，
∵圓心C到x=5距離等于3，
∴弦AB的長為：|AB|=2

52-32

=8，滿足題意；
②當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)，設(shè)l₂方程為y=k（x-5），
∵弦AB長是8，∴圓心C到直線l₂的距離d=

r2-( 1 2 |AB|)2

=3，
∵l₂方程為y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
∴

|-3k-4|

k2+1

=3，解之得k=-

7

24

，可得直線l₂方程是7x+24y-35=0
綜上所述，可得直線l₂方程為7x+24y-35=0或x-5=0．

點(diǎn)評：本題給出已知圓和點(diǎn)P，求經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線和被圓截得弦長為8的直線方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．