Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱點(diǎn)（x，f（x））為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不動(dòng)點(diǎn)（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b總有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若定義在R上的函數(shù)g（x）滿足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：n必為奇數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，及已知中函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不動(dòng)（0，0）和（1，1），我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；
（2）若函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則方程ax²+bx-2b=x有兩個(gè)相異的實(shí)根，由此可以構(gòu)造出一個(gè)不等式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到a的范圍；
（3）（x，x）與（-x，-x）是成對(duì)出現(xiàn)，故是偶數(shù)，（0，0）在圖形上，所以，n必是奇數(shù)．
解答：解：（1）由題意 ，即，
解得．∴f（x）=x²
（2）函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)不等根．
化簡(jiǎn)f（x）=x得到ax²+（b-1）x-2b=0．
所以（b-1）²+8ab＞0，即b²+（8a-2）b+1＞0．
由題意，該關(guān)于b的不等式恒成立，
所以（8a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜．
（3）（x，x）與（-x，-x）是成對(duì)出現(xiàn)，故是偶數(shù)，（0，0）在圖形上，所以，n必是奇數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了新定義，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．