Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點(diǎn)M．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AM⊥PD；
（3）求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用棱錐的體積公式，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明AB⊥平面PAD，進(jìn)而可證明PD⊥平面ABM，即可證明AM⊥PD；
（3）解法1：求出點(diǎn)D到平面ACM的距離，利用三角函數(shù)，可求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值；解法2：求出平面ACM的一個(gè)法向量，

CD

，利用向量的夾角公式，即可求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．

解答：（1）解：四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=

1

3

sh=

1

3

×PA×AB×AD=

1

3

×2×2×1=

4

3

…（2分）
（2）證明：∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，…（5分）
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB?平面ABM，BM?平面ABM，
∴PD⊥平面ABM．
∵AM?平面ABM，
∴AM⊥PD．…（7分）
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，則M是PD的中點(diǎn)，
在Rt△PAD中，得AM=

2

，在Rt△CDM中，得MC=

MD2+DC2

=

3

，
∴S△ACM=

1

2

AM•MC=

6

2

．
設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h，由V_D-ACM=V_M-ACD，…（8分）
得

1

3

S△ACM•h=

1

3

S△ACD•

1

2

PA．
解得h=

6

3

，…（10分）
設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為θ，則sinθ=

h

CD

=

6

3

，…（12分）
∴cosθ=

3

3

．
∴直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為

3

3

．…（14分）
解法2：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．
∴

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，

CD

=(-1，0，0)．…（8分）
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

可得：

x+2y=0 y+z=0.

令z=1，得x=2，y=-1．
∴

n

=（2，-1，1）．…（10分）
設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為α，則sinα=

| CD • n |

| CD || n |

=

6

3

．…（12分）
∴cosα=

3

3

．
∴直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為

3

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．