Question

根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₇；y₁，y₂，…，y_n…，y₂₀₀₇；
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式x_n；
（2）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數(shù)列{y_n}的一個通項公式y(tǒng)_n，并證明你的結論．
（3）若z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n，求z_n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,程序框圖

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由框圖，知數(shù)列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，由此能導出x_n．
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80．由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007），然后構造成等比數(shù)列進行證明．
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）+…+（2n-1）×（3ⁿ-1）=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1），用錯位相減法進行求解．

解答： 解：（1）由框圖，知數(shù)列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2007）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80，
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）．
證明：由框圖，知數(shù)列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴數(shù)列y_n+1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2007）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）+…+（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
記S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ①
則3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5+…+2n-1=n²
∴z_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2007）．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意錯位相減法和構造法的靈活運用．