Question

已知正△ABC的頂點A在平面α內，頂點B，C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α內的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為______．

Answer 1

如圖所示，不妨設AB=2．則AD=

3

．
假設一開始正△ABC在平面α內時的位置，則∠BAC=60°．
而當BC∥α時，其B、D、C三點的射影分別為B₁，D₁，C₁時，且∠B₁AC₁=90°．
∠DAD₁為直線AD與平面α所成角且最小．
則AD1=

1

2

B1C1=

1

2

BC=1，∴DD1=

AD2-A D 21

=

2

．
此時sin∠DAD1=

DD1

AD

=

2

3

=

6

3

．
當BC與平面α部平行時，可以看出：其DD₁長度必然增大．
因此直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為

6

3

．
故答案為

6

3

．