Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長(zhǎng)為2、∠ADC=120°的菱形，Q是側(cè)棱DD₁（DD₁＞）延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交側(cè)棱BB₁于點(diǎn)P．設(shè)截面QA₁PC₁的面積為S₁，四面體B₁-A₁C₁P的三側(cè)面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面積的和為S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）證明：AC⊥QP；
（Ⅱ）當(dāng)S取得最小值時(shí)，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）連AC、BD，則AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，則AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）設(shè)O是A₁C₁與QP的交點(diǎn)，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，S=S₁-S₂
==．（8分）
∵令，則，
∴當(dāng)即時(shí)，S取得最小值．（11分）
此時(shí)，，由余弦定理有cos∠A₁QC₁=．（13分）
分析：（Ⅰ）要證明：AC⊥QP；只要證明AC垂直平面PCDQ即可．也就是證明AC垂直平面內(nèi)的相交直線即可．
（Ⅱ）設(shè)O是A₁C₁與QP的交點(diǎn)，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，利用S=S₁-S₂．表示出面積S，當(dāng)S取得最小值時(shí)，求出x的值，然后求cos∠A₁QC₁的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理，是中檔題．