Question

3．（1）在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$ （其中θ為參數(shù)），直線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t-4}\\{y=\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．點(diǎn)F（-4，0），曲線C₁與直線C₂相交于點(diǎn)A、B，求|FA|•|FB|的值． 
（2）在極坐標(biāo)系中，直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，與以點(diǎn)M（4，π）為圓心，以5為半徑的圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）化橢圓的參數(shù)方程為普通方程，把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程中，由參數(shù)t的幾何意義求得|FA|•|FB|的值；
（2）化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，然后利用弦心距、圓的半徑及半弦長的關(guān)系求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t-4}\\{y=\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$代入上式，得369t²-1440t-2025=0．
∴|FA|•|FB|=$|{t}_{1}{t}_{2}|=\frac{2025}{369}=\frac{225}{41}$；
（2）由ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，得$ρ（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）=2$，
即$x+\sqrt{3}y-4=0$．
以點(diǎn)M（4，π）為圓心，以5為半徑的圓的直角坐標(biāo)方程為（x+4）²+y²=25．
圓心（-4，0）到直線$x+\sqrt{3}y-4=0$的距離為d=$\frac{|-4-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}=4$，
∴|PQ|=2$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，是基礎(chǔ)題．