Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求p的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=4，，可得數(shù)列的前3項，利用a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，確定p的值，再利用疊加法，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定以，進而可知n≥2時 b_n+1＜b_n，結(jié)合，，可證結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：因為a₁=4，，
所以；．
因為a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依題意，，
所以當n≥2時，，，
…，．
相加得，
所以，
所以．
當n=1時，成立，
所以．                            
（Ⅱ）證明：因為，所以．
因為，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，則，即n≥2時，b_n+1＜b_n．
又因為，，所以．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查疊加法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項是關鍵．