Question

在（1+2x）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)和為201．
（1）求展開式中第幾項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大？
（2）求展開式中第幾項(xiàng)的系數(shù)最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可得前三項(xiàng)的系數(shù)和 1+2C_n¹+4C_n²=201，解方程求得n 的值．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式求出r的值．

解答：解：（1）由1+2C_n¹+4C_n²=201，得n=10．…（3分）
∴展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．…（4分）
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

．…（8分）
解得

19

3

≤r≤

22

3

，…（10分）∴r=7．
∴展開式中第8項(xiàng)的系數(shù)最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．