Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)在直線y = 上。數(shù)列{b_n}滿足b_n+2 2b_n+1 + b_n = 0 (n∈N*)，且b₃ = 11 ,前9項(xiàng)和為153 。

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)c_n =，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式T_n＞對一切n∈N*都成立的最大正數(shù)k的值；

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，得，即S_n =+

故當(dāng)n≥2時(shí)，a_n =S_nSn₁= (+)[] = n + 5

注意到n = 1時(shí)，a₁ = S₁ = 6，而當(dāng)n =1時(shí)，n + 5 = 6

所以，a_n = n + 5 (n∈N*)

 又b_n+2 2b_n+1 +b_n = 0 ,即b_n+2 b_n+1 b_n (n∈N*)

所以{b_n}為等差數(shù)列。

于是

而b₃ = 11，故b₇ = 23 , d =

因此，b_n = b₃ + 3 ( n 3 ) = 3n + 2 .即b_n = 3n + 2 ( n∈N*)

（Ⅱ）c_n =

                  =

所以，T_n = c₁ + c₂ + … c_n =

                  =

由于T_n+1 T_n =＞0，

因此T_n單調(diào)遞增，故( T_n )_min =.

令＞，得k＜19，所以k_max = 18