Question

9．設函數f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow$=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經過點（$\frac{π}{4}，2$）．
（1）求實數m的值；
（2）若銳角α滿足f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求tan$\frac{4}{7}$α的值．

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）解析式，把已知點坐標代入求出m的值即可；
（2）由m的值及（1）確定出f（x）解析式，根據銳角α滿足f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出α的度數，代入原式計算即可得到結果．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow$=（1+sin2x，1），
∴f（x）=m（1+sin2x）+cos2x=msin2x+cos2x+m，
把（$\frac{π}{4}$，2）代入得：2=m+m，即m=1；
（2）由（1）得：f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∵f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵α為銳角，
∴2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，即α=$\frac{7π}{24}$，
則tan$\frac{4}{7}$α=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．