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【題目】設函數.

(1)當時，求函數的單調區(qū)間.

(2)當時，討論函數與圖象的交點個數.

【答案】（1）函數的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）有一個交點.

【解析】分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區(qū)間，求得的范圍，可得函數的減區(qū)間；（2）問題轉化為求函數的零點個數問題，通過求導，得到函數單調區(qū)間，求出的極小值，利用數形結合思想、分類討論思想可求出的函數的零點個數即和的交點個數.

詳解：(1)函數的定義域為，

當時，，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增。

所以函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.

(2)令

問題等價于求函數的零點個數，

當時，，有唯一零點.

當，

當時，，函數為減函數，

注意到

所以有唯一零點；

當時，或時時

所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，

注意到

所以有唯一零點；

當時，函數在和上單調遞減，在上單調遞增，

易得，所以，

而所以有唯一零點；

綜上，函數有唯一零點，即兩函數圖象總有一個交點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過兩個焦點，A，B是橢圓C的長軸端點．

（1）求橢圓C的標準方程和圓O的方程；
（2）設P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x平行，直線AP、BP與y軸的交點即為M、N，試證明∠MQN為直角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】變量X與Y相對應的一組數據為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則( 　)

A. r2<0<r1 B. 0<r2<r1 C. r2<r1<0 D. r2＝r1

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學準備在開學時舉行一次大學一年級學生座談會，擬邀請20名來自本校機械工程學院、海洋學院、醫(yī)學院、經濟學院的學生參加，各學院邀請的學生數如下表所示：

學院

機械工程學院

海洋學院

醫(yī)學院

經濟學院

人數

4

6

4

6

（Ⅰ）從這20名學生中隨機選出3名學生發(fā)言，求這3名學生中任意兩個均不屬于同一學院的概率；
（Ⅱ）從這20名學生中隨機選出3名學生發(fā)言，設來自醫(yī)學院的學生數為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，P矩形內的一點，且AP= ，若 ，（λ，μ∈R），則λ+ μ的最大值為 ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）= ．
（Ⅰ）若a=﹣1，證明：函數f（x）是（0，+∞）上的減函數；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x﹣y=0平行，求a的值；
（Ⅲ）若x＞0，證明： （其中e=2.71828…是自然對數的底數）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果是（ ）
A.﹣2
B.
C.
D.3

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某旅游為了解2015年國慶節(jié)期間參加某境外旅游線路的游客的人均購物消費情況，隨機對50人做了問卷調查，得如下頻數分布表：

人均購物消費情況

[0，2000]

（2000，4000]

（4000，6000]

（6000，8000]

（8000，10000]

額數

15

20

9

3

3

附：臨界值表參考公式：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d．

（1）做出這些數據的頻率分布直方圖并估計次境外旅游線路游客的人均購物的消費平均值；
（2）在調查問卷中有一項是“您會資助失學兒童的金額？”，調查情況如表，請補全如表，并說明是否有95%以上的把握認為資助數額多于或少于500元和自身購物是否到4000元有關？

人均購物消費不超過4000元

人均購物消費超過4000元

合計

資助超過500元

30

資助不超過500元

6

合計

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