分析:(法一)
(I)由已知直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ABC=90,易得AB⊥平面BB
1C
1C,從而可得AB⊥DB
1;由2AB=2BC=CC
1=2,D是棱CC
1的中點(diǎn)可證B
1D
2+BD
2=BB
12,即可證BD⊥B
1D,從而可證
(II)由(Ⅰ)知BD⊥B
1D,AD⊥B
1D,則∠ADB就是平面AB
1D與側(cè)面BB
1C
1C的成角的平面角,Rt△ABD中求解∠ADB即可
(法二:向量法)
(I)結(jié)合條件考慮分別以BC、BA、BB
1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,要證B
1D⊥平面ABD?證明B
1D⊥BD,B
1D⊥AB?
•=0 •=0(II)易知平面BB
1C
1C的法量為
,求出平面AB
1D的法向量
,代入公式
cosθ=求解即可
解答:解:方法一:
(Ⅰ)證明:在Rt△B
1C
1D中,∠B
1C
1D=90°,B
1C
1=1,C
1D=
C1C=1
∴B
1D=
,同理BD=
在△B
1DB中,∵B
1D
2+BD
2=B
1B
2∴∠B
1DB=90°
即B
1D⊥BD又∵在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB
1C
1C,而B
1D?平面BB
1C
1C,∴B
1D⊥ABAB∩BD=B∴B
1D⊥平面ABD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BD⊥B
1D,AD⊥B
1D,平面AB
1D∩平面BB
1C
1C=B
1D
∴∠ADB就是平面AB
1D與側(cè)面BB
1C
1C的成角的平面角
在Rt△ABD中,∠ABD=90°,AB=1,BD=
∴tan∠ADB=
==,∴∠ADB=arctan
.
即平面AB
1D與側(cè)面BB
1C
1C所成銳角的大小為arctan
.(12分)
方法二:
證明:(Ⅰ)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz
則A(0,1,0),B(0,0,0)C(1,0,0),
D(1,0,1),B
1(0,0,2),C
1(1,0,2)
于是
=(1,0,-1),
=(1,0,1),
=(1,-1,1),=(0,1,0)
(Ⅰ)∵
•=(1,0,-1)(1,0,1)=0
⊥=(1,0,-1)(1,-1,1)=0
∴
⊥,⊥,即B
1D⊥BD,B
1D⊥AD,
又AD∩BD=D∴B
1D⊥平面ABD
1(Ⅱ)設(shè)平面AB
1D的法向量為
=(a,b,c),
則由
得
令c=1得a=1,b=2∴n=(1,2,1),
易知平面BB
1C
1C的法向量為
=(0,1,0)
設(shè)平面AB
1D與平面BB
1C
1C所成角的大小為θ
則cosθ=
=即平面AB
1D與側(cè)面BB
1C
1C所成銳角的大小為arccos
.(12分)
點(diǎn)評:本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系:利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的運(yùn)用;二面角的平面角的作法利用定義法及空間向量法求解二面角的平面角,考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,是對基本知識與基本方法的綜合考查.