Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（1-x）=f（x），（x-

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）f′（x）＞0，若x₁＜x₂且x₁+x₂＞1，則有（　�。�

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）＞f（x₂）

C．f（x₁）=f（x₂）

D．不能確定

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=

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對(duì)稱，且當(dāng)x＞

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時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜

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時(shí)，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)性．分類討論x2＞x1≥

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，與x1＜

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，即可得出．

解答：解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（1-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=

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對(duì)稱．
∵（x-

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）f′（x）＞0，∴當(dāng)x＞

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時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)x＜

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時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減．
①若x2＞x1≥

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，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(

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，+∞)上單調(diào)遞增，∴f（x₂）＞f（x₁）．
②若x1＜

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，又x₁+x₂＞1，∴x2＞1-x1＞

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，∴f（x₂）＞f（1-x₁）=f（x₁）．
綜上可知：f（x₂）＞f（x₁）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的軸對(duì)稱性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．