Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=33n-n²
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）問{a_n}的前多少項(xiàng)和最大；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都有b_n =|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S′_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，驗(yàn)證當(dāng)n=1時，也滿足，于是可求得{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=34-2n，利用等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）令a_n≥0可求得n≤17，從而可得答案．
（3）分類討論去掉絕對值，利用等差數(shù)列求和公式求得即可．

解答 （1）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，又當(dāng)n=1時，a₁=S₁=32=34-2×1滿足a_n=34-2n，
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=34-2n，
所以a_n+1-a_n=34-2（n+1）-（34-2n）=-2，
故數(shù)列{a_n}是以32為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：令a_n≥0得：34-2n≥0，所以n≤17，
故數(shù)列{a_n}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，
此時S₁₇=33×17-17²=272．
（3）解：當(dāng)n≤17時，${s}_{n}^{′}$=a₁+a₂+…+a_n=32n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=33n-n²，
當(dāng)n≥18時，${s}_{n}^{′}$=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2s₁₇-s_n=2（33×17-17²）-（33n-n²）=n²-33n+544，
∴${s}_{n}^{′}$=$\left\{\begin{array}{l}{33n-{n}^{2}}&{n≤17}\\{{n}^{2}-33n+544}&{n≥18}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的關(guān)系的確定及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查化歸思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．