設(shè)斜率為的直線交橢圓：于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．

（1）求×的值．

（2）把上述橢圓一般化為（＞＞０），其它條件不變，試猜想與關(guān)系(不需要證明)．請你給出在雙曲線（＞０，＞０）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

 

【答案】

 

（1）

（2）略

【解析】解（一）：（1）設(shè)直線方程，代入橢圓方程并整理得:

,

,又中點(diǎn)M在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，所以

解（二）設(shè)點(diǎn)，中點(diǎn) 則

   

又與作差得  所以

（2）對于橢圓，   

已知斜率為的直線交雙曲線（＞０，＞０）于兩點(diǎn)，點(diǎn) 為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．

則×的值為．

（解一）、設(shè)直線方程為，代入（＞０，＞０）方程并整理得：

，，

所以，即   

(解二）設(shè)點(diǎn) 中點(diǎn)

 則      

又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則與作差得

    即  

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆浙江效實(shí)中學(xué)高二上期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩個焦點(diǎn)距離之和為；

（1）求橢圓方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過作斜率為的直線交橢圓于

兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省臺州市高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

 A、       B、      C、     D、

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓：的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點(diǎn)及橢圓:,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,連結(jié),試問當(dāng)為何值時,直線過橢圓的頂點(diǎn)?

(Ⅲ) 過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓:于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于，求證：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年天津市高三第三次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在軸上，，三點(diǎn)確定的圓恰好與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在過作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)為橢圓中心，射線交橢圓于點(diǎn)，若，若存在求的值,若不存在則說明理由．

 

 

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