Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n+4n-2，（n∈N₊）
（1）求證：數(shù)列{a_n+2n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，結合數(shù)列的定義證明求解即可．
（2）直接利用拆項法，分別通過等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和求解即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=3a_n+4n-2，（n∈N₊），
∴$\frac{{{a_{n+1}}+2（n+1）}}{{{a_n}+2n}}=\frac{{3{a_n}+4n-2+2（n+1）}}{{{a_n}+2n}}=\frac{{3（{a_n}+2n）}}{{{a_n}+2n}}=3$，
∴{a_n+2n}是以a₁+2=3為首項，以q=3公比的等比數(shù)列．
∴${a_n}+2n={3^n}⇒{a_n}={3^n}-2n$，
（2）${S_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}=（{3^1}-2）+（{3^2}-4）+（{3^3}-6）+…+（{3^n}-2n）$=$（{3^1}+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（2+4+6+8+…+2n）=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-（{n^2}+n）$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，考查計算能力．