Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上的動點．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D為45°時，求EB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：AB⊥A₁D，結(jié)合題意可得：A₁D⊥AD₁，即可根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直．
（2）過D作DG⊥EC于G，連接D₁G，所以D₁D⊥平面ABCD，由三垂線定理有D₁G⊥EC，所以∠D₁GD是二面角D₁-EC-D的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識解決問題即可．

解答：解：（1）在長方體AC₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D，…（1分）
因為側(cè)面AA₁D₁D是矩形，且AD=AA₁=1，
所以A₁D⊥AD₁，…（3分）
又∵AD₁∩AB=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁
又D₁E?平面ABD₁，
∴D₁E⊥A₁D，…（6分）

（2）過D作DG⊥EC于G，連接D₁G，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有D₁D⊥平面ABCD，

由三垂線定理有D₁G⊥EC，
∴∠D₁GD是二面角D₁-EC-D的平面角，…（9分）
所以∠D₁GD=45°，
∴DG=1，又矩形ABCD中，DC=2，
∴∠DCE=30°=∠CEB，
∴EB=BCcot30°=

3

，…（12分）．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，即可得到線線與線面關(guān)系，進而利用這些關(guān)系解決空間角問題．