22.如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N）.

（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求 （a1+a2+…+an）的值.

22.（Ⅰ）證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=l，

=sin30°=.

所以rn=rn－1（n≥2），

于是a1=πr12=，，

故{an}成等比數(shù)列.

 

（Ⅱ）解：因?yàn)?I>an=（）n－1a1（n∈N），

所以 （a1+a2+…+an）==.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求
limn→∞
（a1+a2+…+an）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（03年北京卷）（13分）

如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去. 記圓On的面積為.

   （Ⅰ）證明是等比數(shù)列；

   （Ⅱ）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

21. 如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N）.

（1）證明{an}是等比數(shù)列；

 

（2）求（a1+a2+…+an）的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2003年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：14.6 函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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