已知函數(shù)f（x）是正比例函數(shù)，函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)，且f（1）=1，g（1）=1．
（1）求f（x），g（x）；
（2）證明函數(shù)S（x）=xf（x）+g（
12
）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）f（x）是正比例函數(shù)，函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)，列出含參表達(dá)式代入求解即可．
（2）先求出S（x）的具體表達(dá)式，再求導(dǎo)證明其單調(diào)性
解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax，∵f（x）是正比例函數(shù)且f（1）=1
∴a=1，f（x）=x
設(shè)g(x)=
b
x
∵函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)，g（1）=1
∴b=1，g(x)=
1
x

（2）S（x）=xf（x）+g（
1
2
）=x2+2
求導(dǎo)，得S′（x）=2x
在（0，+∞）S′（x）=2x＞0 所以
函數(shù)S（x）=xf（x）+g（
1
2
）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題（1）考查正反比例函數(shù)表達(dá)式求解，基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，（2）考查單調(diào)性證明，可利用定義或者求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，正確的有
 
（把所有正確的序號(hào)都填上）．
①“?x∈R，使2x＞3”的否定是“?x∈R，使2x≤3”；
②函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）sin（
π
6
-2x）的最小正周期是π；
③命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f′（x0）=0”的否命題是真命題；
④已知函數(shù)f′（x）是函數(shù)．f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）是偶函數(shù)，則f′（x）是奇函數(shù)；
⑤
∫
1
-1
1-x2
dx等于
π
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、已知函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其最小正周期為3，且x∈（0，3）時(shí)，f（x）=log2（3x+1），則f（2012）=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青浦區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1007＞0，則f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2013）的值（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為3，且x∈(-
3
2
，0)時(shí)，f(x)=log
1
2
(1-x)，則f（2010）+f（2011）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=log2（3x+1），則f（2011）=
-2
-2
．

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